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征服无穷大

作者:Hermann Nicolai  发表于 Physics 2, 70, 2009   原文链接           

翻译:杨刚  2017年1月

把爱因斯坦引力理论纳入到量子场论的框架下时,通常会产生难以克服的无穷大发散问题;然而在一个叫做 N=8 超引力的理论中,无穷大有可能不会出现 --- 如果真是如此,这将颠覆人们过去近三十年来的认知。

图1:在二十世纪40年代,费曼发明了一种画图的方法来计算量子电动力学中的物理过程。左图就是一个典型的费曼图,它描述的是电磁力借助光子来传递的过程。Bern 等人在 N=8 超引力的计算中 [1] 采用了不同类型的图,它们可以将很多费曼图统一起来。中间的图就是这类计算中所出现的一个平面图。由于这些图和画家蒙德里安(Piet Mondrian)的作品(右图)很相似,有时也被称为蒙德里安图。

力是独特的。它是通过自旋为 2 的粒子(也就是引力子)来传递相互作用的。这一特点和自然界中其他已知的力(即电磁、强、弱相互作用)不一样,后者都是由自旋为 1 的粒子来传播的。利用这些特性,我们可以解释,为什么质量会彼此吸引,而静电学中的同种电荷会彼此排斥;同时这也能说明,为什么引力在长程作用下是占主导的,尽管它和其他的基本力相比弱得难以置信(我们只需想象一下,整个地球对一个曲别针的引力还不如一个小磁铁对它的吸力呢)。我们目前对引力的理解是基于爱因斯坦的广义相对论,其基础是广义协变原理(根据这一原理,物理定律不依赖于参考系的选取)和等效原理。正式基于这两个原理,爱因斯坦导出了他的引力场方程,发展了一个基于时空几何和曲率的理论来取代牛顿引力,让我们对引力有了革命性的新理解

引力的与众不同还有另一个关键的原因。尽管量子力学是自然界的基本定律,然而至今所有将爱因斯坦引力理论和量子力学统一起来的尝试都没有成功。我们对于亚原子现象的理解是基于粒子物理标准模型(包括量子电动力学以及更一般的杨-米尔斯理论)。这个理论是由量子场论来描述的,它准确描述了我们认知范围内所有物质之间的相互作用量子场论是一个非常复杂的数学框架,它的发展经历了几十年,至今也还存在很多疑难。这些疑难主要来自于在计算过程中所出现的无穷大,要将这些无穷大抵消掉,则要通过一个称为重整化的步骤。之所以存在无穷大,是因为我们用点粒子模型来描述基本粒子,这会导致在距离很短时有奇点(在动量空间中对应于动量很大的"紫外发散")。至今对于量子场论,我们还无法给出有严格数学意义的表述,但它的微扰描述确实非常有效,给出的理论结果和实验惊人的吻合。然而,当我们把量子场论应用于爱因斯坦引力及其推广时却全都失败了 --- 除了一个可能的例外:N=8 超引力,它和所有其他理论不同,具有最大超对称性,有可能解决这一困难。这一启示正是在加州洛杉矶分校的 Zvi Bern,John Carrasco 和 Henrik Johanssen,斯坦福直线加速器中心的 Lance Dixon,以及宾夕法尼亚州立大学的 Radu Roiban 发表在物理评论快报 [1] 中的研究所体现的。

微扰量子引力的不自洽性体现在不可重整的无穷大。不可重整意味着为了抵消费曼图(如图1)中的发散,我们必须不断在微扰理论的每一圈修正添加新的相互作用项(称为抵销项)来修改爱因斯坦方程,而且随着圈数增加,它们包含幂次越来越高的曲率张量 --- 这和可重整的物质相互作用理论不同,后者只需要引入有限数目的无穷大重正化参数(质量和耦合常数),而无需新的相互作用项。这一后果就是,如果我们想要引力的结果在每一圈都有限,就必须要指定无穷多的参数和耦合常数。但这样的理论是没有任何可预测性的,因为每一个物理预言都将会依赖无穷多的参数。我们可能寄希望于纯引力理论中或许会存在神奇的相消,从而来避免这样的灾难,然而论文 [2,3] 中完成的计算已经证明这是不可能的

在二十世纪70年代末,物理学家开始寻找某种爱因斯坦理论的推广,试图避免紫外发散。其想法是通过加入某些精心设计的物质耦合项来抵消无穷大(如果能实现,这也可能对自然中物质的存在性给出解释)。这首先需要加入费米型物质,因为费米子在费曼图中每一个圈积分的贡献和玻色子差一个负号。此外,爱因斯坦理论的推广必须具有一种新的对称性 --- 局域超对称,它能将玻色子和费米子联系起来,这同样也应用于力和物质粒子。人们很快便意识到,随着超对称数目 的增加,爱因斯坦引力的超对称推广理论个数越来越少。它的最大超对称推广,即 N=8 超引力,是在论文 [4] 中最终构造出来的,其更一般的"规范化的"版本也在 [5] 中被得到。

自然,这些发展给人们带来了希望:N=8 超引力可能就是最终想要寻找的那个理论,它可能可以解决引力微扰量子化中的发散问题。在这之后的一段短时期内,人们进行了大量的研究,希望证明这一理论是否在所有圈都有限。这些研究者大多是基于超空间方法,在这个方法中时空坐标包含了费米型坐标 [6]。遗憾的是,当它应用于 N=8 超引力时暴露出一个主要的缺陷:它只在运动方程水平才适用,而没法给出一个可以用于费曼图计算的方案。所有这些努力都颇为失望地无法给出确切的结论。在大量研究基础上,论文 [7,8] 表明确实可以存在和 N=8 超对称相兼容的抵销项;然而,因为缺乏一个可操作的离壳表述,没有人可以具体计算出相关抵销项的系数(它们首次出现在三圈 [9]),从而也无法明确说明它们究竟是存在还是为零。根据一些具体的已知情形 --- 一个不能被对称性排除的抵销项确实会有非零的系数(比如纯引力中的两圈抵销项 [2,3]),因此绝大多数学者都认为这一理论是穷途末路了。很多人转而研究超弦理论,后者看起来有好得多的前景,它不仅有可能给出一个微扰有限的量子引力理论,还可能提供一个统一理论来解释低能粒子物理的观测现象。结果多数人的共识就是,要彻底解决 N=8 超引力的紫外问题不仅是无望的困难,更严重的,它也不再是一个值得考虑的问题了。所以,如果不是因为最近 Bern 等人所报道的进展的话 [1],这一理论很可能从此就是一个再也无人问津的无解命题了

要理解为什么费曼图方法是如此可怕的复杂,我们可以回顾两个简单的事实。第一,费曼图内线传播的粒子是离壳的,也就是它们不遵守通常的相对论性色散关系 pμ pμ = m2 c4。第二,为了保持明显的洛伦茨不变性,我们不仅要对物理态,也必须对大量非物理的激发态求和(比如,在量子电动力学中光子是由四矢量 Aμ 来描述的,所以我们要对四个极化分量而不是只对两个物理螺旋度求和)。对于引力,计算的复杂度极大增加:论文 [2,3] 中的两圈计算就包含了几十万个费曼图。仅是粗略扫一眼 N=8 超引力的拉氏量 [4,5] 很可能就足以让人打消用这种方式来计算的念头。

最终实现 Bern 等人计算 [1] 的漫漫长路源自于对于粒子物理(特别是QCD )中的散射振幅计算进行简化的尝试。这一方法的主要新颖之处是发挥弦理论的作用,并利用以下这一事实:量子场论振幅可以通过弦理论振幅取特别的极限(在这一极限下弦缩成一个点)来得到。后者因为在计算中不包含非物理的中间态,可以"更容易地"进行计算。作为一个决定性的进一层因素 [10],这套方案复兴了粒子物理中的一套老方法(称为S-矩阵理论),它曾经在二十世纪60年代繁荣一时

将这些思路推广到引力的话,我们还需要巧妙地探索弦理论的另一个关键特性。在弦理论里,自旋-1和自旋-2的无质量粒子分别对应于开弦和闭弦的激发态。这一性质在振幅的计算中对应于:在壳引力振幅可以通过在壳杨-米尔斯振幅的"平方"来得到。它的具体做法由 Kawai,Lewellen 和戴自海(Henry Tye)发现,称为 KLT 规则 [11]。在一定意义下,弦理论具体实现了引力是杨-米尔斯理论的"平方"。这一对应尽管看起来简单而又吸引人,背后隐含的思想则要深刻得多:因为没有任何简单的操作能把爱因斯坦-希尔伯特作用量约化为杨-米尔斯作用量的平方。要彻底了解这一关键的因子化性质,还需要做多得多的工作 [12]。实际上,要理解这一切是如何发生的,我们最好是把量子场论教科书所学到的一切统统忘掉!

更具体地说,文献 [1] 中所采用的方法是把另一个著名的超对称理论 --- N=4 杨-米尔斯理论 --- 的在壳振幅给"粘合"起来。作为一个紫外有限而且严格共形不变的理论,N=4 杨-米尔斯理论是量子场论模型大家族中的异类。应用粘合技术,我们可以从一开始就将 N=4 杨-米尔斯理论的有限性特点构建到引力振幅的计算中,从而省去大量的汗水(这在其他很多情形还是不可避免的)。然而,将所有这一切整合起来并最终实现 Bern 等人的计算 [1]还是耗费了十多年的艰辛工作,在这里我们没法(哪怕是开始)描述为了实现这一计算所需要的众多技巧。无论如何,全部计算最终都可以神奇地约化为50个左右只含有三顶点的四圈标量积分的运算,所有这些图必须精巧地相消,从而给出有限的最终结果。

需要明确的是,这些结果还没有证明 N=8 超引力是一个微扰有限的量子引力(也没法简单地推广到规范化的引力)。另一方面,Bern等人的计算 [1] 所给出的远比证明有限性所需要的更多,因为它提供了次领头阶的贡献(事实上是费曼被积函数),而不仅仅是积分后的有限结果。所有这些结果预示了有限性会保持到更高圈。尽管如此,在继续考虑五圈计算之前,现在或许是时候去寻找一个可能解释有限性的更深刻的原因了。许多人猜想这一原因应该和 N=8 超引力尚未发现的(超对称性之外的)某种对称性有关。确实存在一个明显的候选者,它是 Cremmer 和 Julia 很久以前就发现的叫做 E的"隐藏"对称性 [4]。如何把已知的在壳抵销项和这个对称性统一起来依旧是一个棘手的问题,即便如此,仅用 E7 对称性本身是否能解释有限性还是非常值得怀疑的。在超引力中还存在更大的(无穷维的)隐藏对称性,它们可能最终会是相关的,但目前这只是一个猜测。

用一种更广的观点来看,这些结果对于超弦理论,以及它声称的作为爱因斯坦理论的唯一微扰自洽的推广,究竟意味着什么呢?弦理论不同于场论,因为它除了包含点粒子激发态,也有无穷多对应于弦的量子激发的质量不为零的态。然而更仔细的研究可以发现,弦的有限性(这实际还是个猜想)其实并不太依赖于这些额外有质量态的存在,相反是因为一种新的对称性(叫做模不变形),后者是没有任何场论的对应的。这也启示,最终有可能解释有限性的新对称性,一定会和通常的时空和内部对称性迥然不同。相应的,我们应该认为目前存在的几种可能的有限理论也只是迈向将来构造量子引力基本理论的第一步,在那个理论中,经典时间和空间都将只是衍生的概念,而且也有望给出非微扰的描述。目前我们距离这样一个理论仍然非常遥远,但是文献 [1] 将无疑作为这一研究过程中的一个里程碑而存在。这是一个让人震撼的成就。

参考文献:

1. Z. Bern, J. J. M. Carrasco, L. J. Dixon, H. Johansson, and R. Roiban, Phys. Rev. Lett. 103, 081301 (2009)

2. M. H. Goroff and A. Sagnotti, Nucl. Phys. B 266, 709 (1986)

3. A. van de Ven, Nucl. Phys. B 378, 309 (1992)

4. E. Cremmer and B. Julia, Nucl. Phys. B 159, 141 (1979)

5. B. de Wit and H. Nicolai, Nucl. Phys. B 208, 323 (1982)

6. L. Brink and P. S. Howe, Phys. Lett. B 88, 81 (1979)

7. R. E. Kallosh, Phys. Lett. B 99, 122 (1981)

8. P. S. Howe, K. S. Stelle, and P. K. Townsend, Nucl. Phys. B 191, 445 (1981)

9. S. Deser, J. H. Kay, and K. S.Stelle, Phys. Rev. Lett. 38, 527 (1977)

10. Z. Bern, L. J. Dixon, D. C. Dunbar, and D. A. Kosower, Nucl. Phys. B 425, 217 (1994)

11. H. Kawai, D. C. Lewellen, and S. H. Tye, Nucl. Phys. B 269, 1 (1986)

12. Z. Bern, Living Rev. Relativity 5, 5 (2002) 

13. Z. Bern, J. J. M. Carrasco, H. Johansson, and D. A. Kosower, Phys. Rev. D 76, 125020 (2007)

 

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进一步介绍 进一步介绍

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背景介绍和新近发展

Hermann Nicolai 是爱因斯坦研究所(位于德国柏林附近的波茨坦)的所长,在超引力领域有很深的研究。他这篇科普性的文章不仅相对通俗,也有一定的广度和深度。作为亲身参与者,他对历史的回顾及其发展过程中的点评准确;对于近期发展的意义,特别是对量子引力未来的前瞻(见结尾两段), 也有广阔的视野和深刻的见解,确实体现了大家手笔。

他这篇文章写于2009年,强调了Bern等人四圈计算结果的意义。他还指出,如果不是因为他们的工作,N=8 超引力可能仍然还在故纸堆中无人问津。这一点其实并不准确。早在2006年,Bern,Dixon 和 Roiban 就写了一篇论文,标题是《N=8 超引力是有限的吗?》。在论文中他们基于散射振幅的计算新方法和新结果,研究了 N=8 超引力和 紫外有限的 N=4 杨-米尔斯理论的紧密关系,在已有证据的基础上大胆猜想 N=8 超引力在四维时空可能是紫外有限的。这一颇具争议的论文让 N=8 超引力的研究就获得了越来越多的关注,不仅成为散射振幅领域的一个研究热点,也让那些过去研究超引力抵消项的学者再次活跃起来。值得一提的是2008年 Arkani-Hamed,Cachzao 和 Kaplan 发表了一篇长文《什么是最简单的量子场论?》,给出的答案是 N=8 超引力,颇引人注目。

在2009年 Nicolai 这篇文章发表之后,关于 N=8 超引力又取得了一些重要的新进展,其中之一是关于抵消项的研究。利用超对称特别是 E7 对称性,人们发现,如果时空维度取四维,那么一直到六圈都能排除抵消项的存在;如果时空维度是24/5维,那么五圈就允许对称性无法排除的抵销项存在。除非有进一步的相消使得这些抵销项的系数为零,不然N=8 超引力的在四维时空的七圈振幅,或者24/5维的五圈振幅,都应该有紫外发散。当然,抵消项的论证只是说明了存在的可能性,事实是否如此还需要振幅的具体计算才能说明。如果我们在振幅计算中真的发现了意外的相消,这将预示 N=8 超引力存在尚未发现的隐藏对称性,而N=8 超引力或许就真有可能是微扰紫外有限的这将会是通往量子引力之路上一个革命性的结果。

遗憾的是,自从2009年的四圈超引力结果之后,至今还没有任何人得到五圈振幅的结果。这是因为五圈的引力计算实在是太复杂了,即使是很多现代的方法也没有希望求解。一个引入注目的进展是,在2012年初 Bern 和合作者成功在四圈 N=4 杨-米尔斯振幅实现了色因子和动量因子的对偶,从而可以直接由它得到四圈 N=8 超引力的结果(见论文。如果能够在五圈振幅也实现色因子和动量因子的对偶,那么就可以直接得到超引力的结果了。但尽管经过了数年的艰苦尝试,这一目标至今也没有实现。

在最近的工作中,我利用形状因子首次在五圈水平实现了色因子和动量因子的对偶,这是目前这一对偶在量子水平最好的验证。如果能进一步实现六圈的构造,将更加有意义,因为这将直接包含五圈振幅的结果(当然还包含更多其他信息)。